Re (2): О слабой сходимости


[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]


Отправлено Афанасий 18:48:28 31/08/2000
в ответ на: Re: О математике, логике и слабой сходимости, отправлено Тошик 23:05:40 29/08/2000
 
>> А я вам ответил, что построить слабо сходящуюся, но не ограниченную последовательность  НЕВОЗМОЖНО,     не то что  "легко".  Ибо это противоречит известной теореме  (кстати, одной из самых основных в ФА.   Считается, что таких теоремы 3:  Хана-Банаха, Банаха об обратном операторе, и Банаха-Штейнгауза).
 
>>
 
>> Напомню:
 
>> А:   Вообще: любая слабо сходящаяся последовательность в любом банаховом пространстве ограничена по норме (теорема  Банаха—Штейнгауза).  Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся.  Ваше рассуждение неверно.
 
>>
 
>> И после этого вы упорно повторяете, что не видите ошибки??   Ну как так можно??
 
>
 
> Для того, чтобы набить цитату из К-Ф, мне не потребуется много времени.
 
>
 
> Теорема 2*. (привожу исключительно ради контекста, мне интересен пример — Антон) Последовательность линейных функционалов {Фn} из E* слабо сходится к Ф [принадлежит] E, если
 
> 1) эта последовательность ограничена, т.е.
 
>    ||Фn|| <= C, n=1,2...
 
> 2) соотношение (Фn,x) -> (Ф,x) выполнено для всех x, принадлежащих некоторому множеству, линейные комбинации которого всюду плотны в E.
 
 
>
 
> Рассмотрим пример. Пусть E есть пространство C[a,b] непрерывных функций, и Ф(x)=Ф(0),
 
> т.е. Ф есть [дельта]-функция. Пусть, далее, {Фn(t)} есть последовательность непрерывных функций, удовлетворяющих следующим условиям:
 
> 1) Фn(t)=0 при |t|>1/n, Фn(t)>=0;
 
> 2) [интеграл от a до b]Фn(t)dt = 1.
 
 
> Тогда, для любой непрерывной на [a,b] функции x(t) с помощью теоремы о среднем получаем
 
> [интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt = [интеграл от -1/n до 1/n]Фn(t)x(t)dt -> x(0) при n->[бесконечность].
 
>
 
> Выражение  [интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt
 
> представляет собой линейный функционал на C[a,b]. Таким образом, [дельта]-функция может быть представлена как предел, в смысле слабой сходимости линейных функционалов на C[a,b], последовательности «обычных» функций.
 
 
Дорогой мой, Вы что же, не заметили, что в теореме сказано: Последовательность линейных функционалов {Фn} из E* /т.е. из сопряженного пространства!!  А вы хотите построить последовательность элементов из самого Е = С. /
 
Т. образом, вы привели пример посл-ти не из С, а из С* (сопряженного пространства к С).  Действительно, она слабо сходится к дельта-функции, которая есть линейный функционал на пр-ве непрерывных ф-ций, т.е. принадлежит тоже С* (но никак не самому С !!!).   Замечу вам, что для вашей посл-ти норма в  С*  есть интеграл модуля, и она  ОГРАНИЧЕНА.  Если же рассматривать вашу посл-ть в самом С, то там норма есть максимум модуля, и она  НЕ ОГРАНИЧЕНА.  И не сходится слабо ни к какой функции из С.   Разберитесь в этих двух соснах.
 
 
Кстати, в Теореме 2* опечатка (то ли в книге, то ли у вас):  
 
слабо сходится к Ф [принадлежит] E* /тому же пространству, в котором задана последовательность!,  а не  Е/
 
 
 
>> Ваша же реплика:
 
>>> Рассматриваемая же последовательность сходится к дельте, функции не принадлежащей C, поэтому, указанная Вами теорема к ней не применима.
 
>> —- вообще за гранью логики.  Повторю: если  СХОДИТСЯ, то сходится  К ЭЛЕМЕНТУ  пространства.
 
>
 
> Это просто вопрос терминологии, а не логики, уж простите. Мне встречалось словоупотребление «фундаментальная» = «сходящаяся», без указания, к чему. В этих случаях, различали «сходящаяся» и «сходящаяся к элементу пространства».
 
 
Что за чепуха!  Если СХОДИТСЯ, то  ВСЕГДА  к какому-то элементу данного пространства.  "Фундаментальная"  вообще говоря, не = «сходящаяся» (и что такое «фундаментальная», вы знаете?).  Напоминаю определение:  Метрическое пространство (в частности, нормированное) называется ПОЛНЫМ, если в нем всякая фундаментальная посл-ть сходится.  Банахово пр-во — это полное нормированное пр-во.
 
 


Ответы и комментарии:


[Форум Rossia.org] [Начало] [Написать ответ]