слабая сходимость


[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]


Отправлено Афанасий 20:21:05 21/08/2000
в ответ на: Re (3): ограничена по норме, отправлено COBTPAHCABTO 20:21:51 18/08/2000
 
>> Прошу пардона, но вы не дали себе труда проследить за логикой.  Я же сказал:  Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся.  Т.е. если бы она слабо сходилась, то по указанной теореме была бы ограниченной по норме.  А она у вас не ограничена.  Значит, НЕ является слабо сходящейся.
 
> А что же тогда есть слабая сходимость? Разве не в смысле сходимости функционалов (на любой из функций из определенного множества)? Вроде тогда если взять, для примера, последовательность “колоколов” гаусса /гамма_j со стремящияся к нулю “талией”, то последвательность функционалов Ф_j (/фи)=/инт /гамма_j /фи будет сходиться к функционалу Ф (/фи)=/фи (0).
 
 
Уважаемый СОВТРАНСАВТО!  Спасибо за участие в обсуждении.
 
Слабая сходимость в банаховом пространстве Х  есть сходимость на любом функционале из СОПРЯЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВА  (а не из произвольного  "определенного множества").  Где в вашем примере исходное пространство и где сопряженное?  Если ваши \гамма_j(t) вы считаете элементами С (т.е. пр-ва непрерывных ф-ций), то в качестве \фи  вы должны брать произвольную регулярную меру (а не только непрерывные ф-ции!), или, что то же самое, вы должны доказать, что для любой монотонной ф-ции \po(t) на [0,1] интеграл Стилтьеса (по мере d\ро)   \int \гамма_j d\ро  сходится к некоему функционалу Ф (\ро),  но какому??  Если даже \ро(t) есть гладкая (непр. дифференцируемая) ф-ция, т.е.  \ро'(t) = \фи(t),  где \фи  непрерывна,  то  действительно,  \int \гамма_j d\ро =  \int \гамма_j \фи dt  стремится к  \фи (0).   Но этот функционал от \фи  не задается интегралом ни от какой непрерывной ф-ции  \гамма.   Т.е. в пространстве непрерывных ф-ций предела у вашей посл-ти НЕТ.  (Его нет и по теореме Банаха—Штейнгауза, т.к. посл-ть НЕ ограничена по норме.)
 
 
Если же вы считаете ваши  \гамма_j  элементами пространства, сопряженного к  С[0,1],  а  пробные \фи  из  исходного С[0,1] (строго говоря, это тогда не слабая, а слабая-* сходимость),  то все ОК:  посл-ть  \гамма_j  ограничена и слабо-* сходится к  функционалу (дельта функции)  Ф (\фи)=\фи (0).
 
 
 
 


Ответы и комментарии:


[Форум Rossia.org] [Начало] [Написать ответ]