[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]
Отправлено
Афанасий 20:21:05 21/08/2000
в ответ на:
Re (3): ограничена по норме, отправлено
COBTPAHCABTO 20:21:51 18/08/2000
>> Прошу пардона, но вы не дали себе труда проследить за логикой. Я же сказал: Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся. Т.е. если бы она слабо сходилась, то по указанной теореме была бы ограниченной по норме. А она у вас не ограничена. Значит, НЕ является слабо сходящейся. > А что же тогда есть слабая сходимость? Разве не в смысле сходимости функционалов (на любой из функций из определенного множества)? Вроде тогда если взять, для примера, последовательность “колоколов” гаусса /гамма_j со стремящияся к нулю “талией”, то последвательность функционалов Ф_j (/фи)=/инт /гамма_j /фи будет сходиться к функционалу Ф (/фи)=/фи (0). Уважаемый СОВТРАНСАВТО! Спасибо за участие в обсуждении. Слабая сходимость в банаховом пространстве Х есть сходимость на любом функционале из СОПРЯЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВА (а не из произвольного "определенного множества"). Где в вашем примере исходное пространство и где сопряженное? Если ваши \гамма_j(t) вы считаете элементами С (т.е. пр-ва непрерывных ф-ций), то в качестве \фи вы должны брать произвольную регулярную меру (а не только непрерывные ф-ции!), или, что то же самое, вы должны доказать, что для любой монотонной ф-ции \po(t) на [0,1] интеграл Стилтьеса (по мере d\ро) \int \гамма_j d\ро сходится к некоему функционалу Ф (\ро), но какому?? Если даже \ро(t) есть гладкая (непр. дифференцируемая) ф-ция, т.е. \ро'(t) = \фи(t), где \фи непрерывна, то действительно, \int \гамма_j d\ро = \int \гамма_j \фи dt стремится к \фи (0). Но этот функционал от \фи не задается интегралом ни от какой непрерывной ф-ции \гамма. Т.е. в пространстве непрерывных ф-ций предела у вашей посл-ти НЕТ. (Его нет и по теореме БанахаШтейнгауза, т.к. посл-ть НЕ ограничена по норме.) Если же вы считаете ваши \гамма_j элементами пространства, сопряженного к С[0,1], а пробные \фи из исходного С[0,1] (строго говоря, это тогда не слабая, а слабая-* сходимость), то все ОК: посл-ть \гамма_j ограничена и слабо-* сходится к функционалу (дельта функции) Ф (\фи)=\фи (0).
Ответы и комментарии: