Re: ограничена по норме


[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]


Отправлено Тошик 21:39:12 16/08/2000
в ответ на: ограничена по норме, отправлено Афанасий 18:07:11 16/08/2000
 
>>> Доказать, что пространства С[0,1] и L1[0,1]  не являются сопряженными ни к каким банаховым пространствам.  
 
>>>
 
>
 
>> В случае C доказательство довольно простое:
 
>> 1) Существует теорема, которая говорит, что любая слабо сходящаяся последовательность, на пространстве, сопряженном банахову, ограничена по норме.
 
>> 2) Легко построить последовательность в C, слабо сходящуюся, но не ограниченную — например, та последовательность, что слабо сходится к дельта-функции.
 
>> 3) Следовательно, C не может быть пространством, сопряженным банахову.
 
>
 
> Вообще: любая слабо сходящаяся последовательность в любом банаховом пространстве ограничена по норме (теорема Банаха—Штейнгауза).  Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся.  Ваше рассуждение неверно.
 
 
Ув. Афанасий !
 
Помню такую теорему, и обновил в памяти, когда искал ответ.
 
Но (возможно, я ошибаюсь) она относится к случаю сходимости в пространстве, т.е. это случай, когда предел (в смысле слабой сходимости) принадлежит пространству. Честно говоря, у меня нет ни времени, ни желания сейчас в этом разбираться, но я смутно помню, что доказательство построено на системе окрестностей этого предела.
 
Рассматриваемая же последовательность сходится к дельте, функции не принадлежащей C, поэтому, указанная Вами теорема к ней не применима.
 
Более того, утверждение о существовании такой последовательности я взял непосредственно из учебника Колмогорова-Фомина (ее неограниченность по норме C[a,b] очевидна), так что, если я и ошибаюсь, то вместе с почтенными авторами.
 
Значительно более интересным для меня было бы понять (вспомнить) почему это рассуждение не имеет места для L2, которое рефлексивно. Но, увы, всех не перепробуешь.
 


Ответы и комментарии:


[Форум Rossia.org] [Начало] [Написать ответ]