[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]
Отправлено
Афанасий 18:48:28 31/08/2000
в ответ на:
Re: О математике, логике и слабой сходимости, отправлено
Тошик 23:05:40 29/08/2000
>> А я вам ответил, что построить слабо сходящуюся, но не ограниченную последовательность НЕВОЗМОЖНО, не то что "легко". Ибо это противоречит известной теореме (кстати, одной из самых основных в ФА. Считается, что таких теоремы 3: Хана-Банаха, Банаха об обратном операторе, и Банаха-Штейнгауза). >> >> Напомню: >> А: Вообще: любая слабо сходящаяся последовательность в любом банаховом пространстве ограничена по норме (теорема Банаха—Штейнгауза). Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся. Ваше рассуждение неверно. >> >> И после этого вы упорно повторяете, что не видите ошибки?? Ну как так можно?? > > Для того, чтобы набить цитату из К-Ф, мне не потребуется много времени. > > Теорема 2*. (привожу исключительно ради контекста, мне интересен пример Антон) Последовательность линейных функционалов {Фn} из E* слабо сходится к Ф [принадлежит] E, если > 1) эта последовательность ограничена, т.е. > ||Фn|| <= C, n=1,2... > 2) соотношение (Фn,x) -> (Ф,x) выполнено для всех x, принадлежащих некоторому множеству, линейные комбинации которого всюду плотны в E. > > Рассмотрим пример. Пусть E есть пространство C[a,b] непрерывных функций, и Ф(x)=Ф(0), > т.е. Ф есть [дельта]-функция. Пусть, далее, {Фn(t)} есть последовательность непрерывных функций, удовлетворяющих следующим условиям: > 1) Фn(t)=0 при |t|>1/n, Фn(t)>=0; > 2) [интеграл от a до b]Фn(t)dt = 1. > Тогда, для любой непрерывной на [a,b] функции x(t) с помощью теоремы о среднем получаем > [интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt = [интеграл от -1/n до 1/n]Фn(t)x(t)dt -> x(0) при n->[бесконечность]. > > Выражение [интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt > представляет собой линейный функционал на C[a,b]. Таким образом, [дельта]-функция может быть представлена как предел, в смысле слабой сходимости линейных функционалов на C[a,b], последовательности «обычных» функций. Дорогой мой, Вы что же, не заметили, что в теореме сказано: Последовательность линейных функционалов {Фn} из E* /т.е. из сопряженного пространства!! А вы хотите построить последовательность элементов из самого Е = С. / Т. образом, вы привели пример посл-ти не из С, а из С* (сопряженного пространства к С). Действительно, она слабо сходится к дельта-функции, которая есть линейный функционал на пр-ве непрерывных ф-ций, т.е. принадлежит тоже С* (но никак не самому С !!!). Замечу вам, что для вашей посл-ти норма в С* есть интеграл модуля, и она ОГРАНИЧЕНА. Если же рассматривать вашу посл-ть в самом С, то там норма есть максимум модуля, и она НЕ ОГРАНИЧЕНА. И не сходится слабо ни к какой функции из С. Разберитесь в этих двух соснах. Кстати, в Теореме 2* опечатка (то ли в книге, то ли у вас): слабо сходится к Ф [принадлежит] E* /тому же пространству, в котором задана последовательность!, а не Е/ >> Ваша же реплика: >>> Рассматриваемая же последовательность сходится к дельте, функции не принадлежащей C, поэтому, указанная Вами теорема к ней не применима. >> - вообще за гранью логики. Повторю: если СХОДИТСЯ, то сходится К ЭЛЕМЕНТУ пространства. > > Это просто вопрос терминологии, а не логики, уж простите. Мне встречалось словоупотребление «фундаментальная» = «сходящаяся», без указания, к чему. В этих случаях, различали «сходящаяся» и «сходящаяся к элементу пространства». Что за чепуха! Если СХОДИТСЯ, то ВСЕГДА к какому-то элементу данного пространства. "Фундаментальная" вообще говоря, не = «сходящаяся» (и что такое «фундаментальная», вы знаете?). Напоминаю определение: Метрическое пространство (в частности, нормированное) называется ПОЛНЫМ, если в нем всякая фундаментальная посл-ть сходится. Банахово пр-во это полное нормированное пр-во.
Ответы и комментарии: