[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]
Отправлено
Тошик 21:39:12 16/08/2000
в ответ на:
ограничена по норме, отправлено
Афанасий 18:07:11 16/08/2000
>>> Доказать, что пространства С[0,1] и L1[0,1] не являются сопряженными ни к каким банаховым пространствам. >>> > >> В случае C доказательство довольно простое: >> 1) Существует теорема, которая говорит, что любая слабо сходящаяся последовательность, на пространстве, сопряженном банахову, ограничена по норме. >> 2) Легко построить последовательность в C, слабо сходящуюся, но не ограниченную например, та последовательность, что слабо сходится к дельта-функции. >> 3) Следовательно, C не может быть пространством, сопряженным банахову. > > Вообще: любая слабо сходящаяся последовательность в любом банаховом пространстве ограничена по норме (теорема БанахаШтейнгауза). Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся. Ваше рассуждение неверно. Ув. Афанасий ! Помню такую теорему, и обновил в памяти, когда искал ответ. Но (возможно, я ошибаюсь) она относится к случаю сходимости в пространстве, т.е. это случай, когда предел (в смысле слабой сходимости) принадлежит пространству. Честно говоря, у меня нет ни времени, ни желания сейчас в этом разбираться, но я смутно помню, что доказательство построено на системе окрестностей этого предела. Рассматриваемая же последовательность сходится к дельте, функции не принадлежащей C, поэтому, указанная Вами теорема к ней не применима. Более того, утверждение о существовании такой последовательности я взял непосредственно из учебника Колмогорова-Фомина (ее неограниченность по норме C[a,b] очевидна), так что, если я и ошибаюсь, то вместе с почтенными авторами. Значительно более интересным для меня было бы понять (вспомнить) почему это рассуждение не имеет места для L2, которое рефлексивно. Но, увы, всех не перепробуешь.
Ответы и комментарии: