Re: О математике, логике и слабой сходимости


[Форум Rossia.org] [Ответы и комментарии] [Написать ответ]


Отправлено Тошик 23:05:40 29/08/2000
в ответ на: О математике, логике и слабой сходимости, отправлено Афанасий 18:23:11 29/08/2000
 
>>> Но почему же вы тогда допускаете логическую кашу в самом начале ваших рассуждений?  (Я имею в виду ваши «соображения» о слабой сходимости.  Ошибку я вам указал.  Кроме того, вообще неясно, что следует из вашего гипотетического «примера».  Т.е. полнейшая белиберда, вы уж не обижайтесь, я по сути говорю.)
 
>>
 
>> Простите, простите. Все запротоколировано — http://www.rossia.org:81forum2000/19023.html
 
>>
 
>> Я готов признать, что до конца не разобрался в вопросе, что мне нужно определенное время на то, чтобы проверить посылки, на которых я строю выводы. Готов признать, что не выражался на приятном Вам математическом языке. Но вот дыр в логике Вы не найдете. Попытки обвинить меня в логических ошибках встанут Вам дорого — их нет.
 
>
 
> Как же нет?  Вы писали:
 
>
 
>> В случае C доказательство довольно простое:
 
>      > 1) Существует теорема, которая говорит, что любая слабо сходящаяся последовательность, на пространстве, сопряженном банахову, ограничена по норме.
 
>      > 2) Легко построить последовательность в C, слабо сходящуюся, но не ограниченную — например, та последовательность, что слабо сходится к дельта-функции.
 
>      > 3) Следовательно, C не может быть пространством, сопряженным банахову.
 
>      
 
> А я вам ответил, что построить слабо сходящуюся, но не ограниченную последовательность  НЕВОЗМОЖНО,     не то что  "легко".  Ибо это противоречит известной теореме  (кстати, одной из самых основных в ФА.   Считается, что таких теоремы 3:  Хана-Банаха, Банаха об обратном операторе, и Банаха-Штейнгауза).
 
>
 
> Напомню:
 
> А:   Вообще: любая слабо сходящаяся последовательность в любом банаховом пространстве ограничена по норме (теорема  Банаха—Штейнгауза).  Так как ваша последовательность не ограничена, то она НЕ слабо сходящаяся.  Ваше рассуждение неверно.
 
>
 
> И после этого вы упорно повторяете, что не видите ошибки??   Ну как так можно??
 
 
Для того, чтобы набить цитату из К-Ф, мне не потребуется много времени. Кстати, я уже просил Вас взять этот учебник в руки, и спорить с ним, Вы почему-то не отреагировали ...
 
Издание 1968 года, глава IV, параграф 3, стр. 198.
 
извиняюсь за то, что математические символы буду заменять словами в квадратных скобках.
 
 
Теорема 2*. (привожу исключительно ради контекста, мне интересен пример — Антон) Последовательность линейных функционалов {Фn} из E* слабо сходится к Ф [принадлежит] E, если
 
1) эта последовательность ограничена, т.е.
 
   ||Фn|| <= C, n=1,2...
 
2) соотношение (Фn,x) -> (Ф,x) выполнено для всех x, принадлежащих некоторому множеству, линейные комбинации которого всюду плотны в E.
 
Доказательство то же, что и в теореме 2.
 
 
Рассмотрим пример. Пусть E есть пространство C[a,b] непрерывных функций, и Ф(x)=Ф(0),
 
т.е. Ф есть [дельта]-функция. Пусть, далее, {Фn(t)} есть последовательность непрерывных функций, удовлетворяющих следующим условиям:
 
1) Фn(t)=0 при |t|>1/n, Фn(t)>=0;
 
2) [интеграл от a до b]Фn(t)dt = 1.
 
 
(пример того, как строится такая последовательность, если хотите, я могу скопировать из учебника Владимирова по урматам, раз уж я ссылаюсь сегодня на учебники — Антон)
 
 
Тогда, для любой непрерывной на [a,b] функции x(t) с помощью теоремы о среднем получаем
 
 
[интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt = [интеграл от -1/n до 1/n]Фn(t)x(t)dt -> x(0) при n->[бесконечность].
 
 
Выражение
 
 
[интеграл от a до b]Фn(t)x(t)dt
 
 
представляет собой линейный функционал на C[a,b]. Таким образом, [дельта]-функция может быть представлена как предел, в смысле слабой сходимости линейных функционалов на C[a,b], последовательности «обычных» функций.
 
 
 
 
Тут еще надо серьезно разбираться с деталями: очевидно, что «последовательность »обычных" функций" к E отношения не имеет, т.к. принадлежит E* по построению (и, соответственно, сходятся к элементу E*), однако, поскольку все эти функции непрерывны, C они принадлежат. Этот вопрос я пока оставлю Вам — пока сам с деталями не разберусь.
 
 
> Ваша же реплика:
 
>> Рассматриваемая же последовательность сходится к дельте, функции не принадлежащей C, поэтому, указанная Вами теорема к ней не применима.
 
> —- вообще за гранью логики.  Повторю: если  СХОДИТСЯ, то сходится  К ЭЛЕМЕНТУ  пространства.
 
 
Это просто вопрос терминологии, а не логики, уж простите. Мне встречалось словоупотребление «фундаментальная» = «сходящаяся», без указания, к чему. В этих случаях, различали «сходящаяся» и «сходящаяся к элементу пространства».
 
 
>>> А для приобретения практического навыка в логике прекрасно подходят как раз задачки по математике!    
 
>>
 
>> И да, и нет. Нисколько не отрицая значение математики и формальной логики, вынужден Вам рассказать, что понимание логики как единой строгой системы при изучении социальных наук часто просто мешает. Потому, что читая великих, без преувеличения, авторов, все время приходится ловить их на необоснованных заявлениях и прочих безобразиях.
 
>> Помогает, скорее, умение абстрагировать метод рассуждения от его предмета, и здесь, действительно, ничего лучше математики я не знаю.
 
>> Но, видите ли, для этого умение немедленно вычислить какой-нибудь особенно продвинутый интеграл методом контуров непосредственно не требуется.
 
>
 
> Нет, вы не совсем правильно понимаете значение математики в общем образовании индивида.   Важно не то, что он умеет «вычислить какой-нибудь особенно продвинутый интеграл»,  а важно, что может проводить — абсолютно строго и четко! — довольно длинные и сложные логические рассуждения, имеющие зачастую весьма нетривиальную структуру. (А не просто банальное: Все люди смертны. Кай человек. Значит, Кай смертен.)  И вот чтобы овладеть способностью проводить такие сложные логические рассуждения, именно-то задачи по математике подходят просто идеально.  Почему именно они — отдельный разговор, как-нибудь в другой раз.
 
 
Хм. Я и не говорил про важность умения вычислить интеграл. Более того, я полностью согласен с Вашей трактовкой, понятно и то, почему подходят именно задачи по математике. Проблема в том, что этого умения мало — необходимо еще, как минимум, понимание того, что логические рассуждения имеют не больший уровень достоверности, чем посылки рассуждения. Здесь, на мой взгляд, большее образовательное значение имеет физика.
 
Впрочем, аналогичного эффекта можно добиться и изучением оснований математики — понимание того, что даже в формальной теории (а в теории достаточной мощности ... далее очевидно :-) могут быть утверждения, которые мы не можем ни доказать, ни опровергнуть, весьма ценно для познания. Однако, много ли людей доходит до этого места ?
 


Ответы и комментарии:


[Форум Rossia.org] [Начало] [Написать ответ]